环球速看：函数漫谈(三)

我们已经知道函数有三要素:定义域,值域,对应法则.针对定义域和值域的题型前面我们已经说过,现在来谈谈关于对应法则的题型:怎样求函数的解析式.

来看这样一道题:

例1,若f[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)=( )

(资料图片)

A,3     B,3x     C,6x+3     D,6x+1

解析:这里知道了复合函数的表达式和内函数的表达式,欲求外函数的解析式,注意到复合函数为一次函数,故可考虑利用待定系数法来解决,设f(x)=ax+b,则

f[g(x)]=f(2x+1)=a(2x+1)+b=2ax+a+b=6x+3,

∴2a=6,a+b=3,∴a=3,b=0,即f(x)=3x.选(B).

上述过程显然是将题目作为一道小型解答题来解决的.

倘若从选择题本身的特点入手,则可以利用验证法来做,很快就能找到答案(B).由此可见,对于不同类型的题目,应注意分析题型特点,而不要急于动手,小题有小题的做法,不应该小题大做,这样在考试中就会"隐性失分".

例2,设f(x)=x/(x^2+1),则f(1/x)是( )

A,f(x)  B,-f(x)  C,1/f(x)   D,1/f(-x)

解析:这道题是知道了外函数的解析式,来求复合函数的解析式.准确理解函数定义的话,只要利用整体代换的思想,用1/x代替已知式子中的x,并加以变形整理即可.但这样问的话,此题未免太过平常,从四个选项可见,不仅要求出f(1/x)的解析式,而且要发现此式与已知式之间的关系,因此,变形的方向就是已知式,只有这样才能保证万无一失.此题答案为(A),详细过程请读者自己整理.说这道题的目的不仅仅是题目本身,而在于对常规选择题也应谨慎对待,弄清题意,找准方向,确保迅速正确.

例3,求函数的解析式

(1)已知f(√x+1)=x+2√x,求f(x),f(x+1),f(x^2).

(2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,

求f(x).

(3)已知f(x)+2f(1/x)=2x+1求f(x).

解析:(1)这里知道复合函数的解析式,求外函数的解析式以及相关函数的解析式,常规的方法是换元法,

令u=√x+1(x≥0),则√x=u-1,即x=(u-1)^2(u≥1),

∴f(u)=(u-1)^2+2(u-1)=u^2-1(u≥1),

即f(x)=x^2-1(x≥1).

∴f(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x(x≥0),

f(x^2)=x^4-1(x≤-1或x≥1).

后面两个式子的求解只是整体代换,但要特别小心函数定义域的相应变化,这虽然是一个细节,却是不容忽视的,细节决定成败,这道题目能否圆满完成,关键可能就在此处.

(2)题目已经告诉说f(x)是二次函数,因此可以运用待定系数法来解决.设fx)=ax^2+bx+c(a≠0),f(0)=c=1,

∴f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+1

=(ax^2+bx+1)+(2ax+a+b),

∴f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x.

∴2a=2,a+b=0,即a=1,b=-1.

∴f(x)=x^2-x+1.

(3)注意到这个式子f(x)+2f(1/x)=2x+1①的特点,它是关于x和1/x的恒等式,欲求f(x),应设法得到类似的等式,利用方程思想来求解,于是以1/x来代换已知式中的x得到等式:

f(1/x)+2f(x)=2/x+1②,

则由①②联立,消去f(1/x)即得

f(x)=(4+x-2x^2)/(3x).

(2006-12-12 12:36:03)

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